条件
2つの封筒問題の条件は次のようになります。- 2つの封筒があり、金額が書かれた小切手が入っている
- 一方の封筒の金額は他方の封筒の金額の2倍である
解答
条件（確定情報・偏りの情報が無いこと）より、2つの封筒の金額は確率分布であり、2つの確率分布は一致し、一方の封筒の金額を確認した際に他方の封筒の金額はその2倍または1/2倍でありそれぞれ1/2の確率となる。確認される金額をM円とし、1つの封筒の金額がM円である確率をP(M)、2M円である確率をP(2M)、M/2円である確率をP(M/2)とすると、P(M)+P(2M)+P(M/2)=1、P(2M)=P(M/2)=P(M)/2となり、P(M)=1/2、P(2M)=P(M/2)=1/4と求まる。
以上より、確認される金額をM円とすると、確認する前の時点での2つの封筒の金額は(M円,2M円),(M円,M/2円),(2M円,M円),(M/2円,M円)の4つの組み合わせであり確率がそれぞれ1/4となり、期待値はどちらの封筒も9/8xM円となる。一方の封筒の金額を確認してM円と確認された時点での2つの封筒の金額は(M円,2M円),(M円,M/2円)の2つの組み合わせであり確率はそれぞれ1/2となり、期待値は金額を確認した一方の封筒がM円、金額を確認していない他方の封筒が5/4xM円となる。
一方の封筒の金額を確認すると他方の封筒の金額の期待値が一方の封筒の金額の期待値より大きくなり、確認しなければ封筒の金額の期待値が等しいということがわかる。