このページは眠り姫問題について記載しています。眠り姫問題は頻度（大数の法則）を適用させる確率を間違いやすい問題です。また、情報により確率が更新される仕組みや主観を正しく認識していなければ間違いやすい問題です。（参考：事後確率）
条件
- 眠り姫（あなた）が、薬を投与され日曜日に眠りにつく。
- 眠り姫が眠っている間に一度だけコインが投げられる。
- コインが表の場合、眠り姫は月曜日に目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。
- コインが裏の場合、眠り姫は月曜日に目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。そして翌日の火曜日にも目覚めさせられ、質問されたのち、再び薬を投与され眠りにつく。
- この時投与される薬は一日の記憶を完全に忘却する記憶消去薬で、次に目覚めさせられるまで絶対に目覚めないという作用がある。 眠り姫が目覚め質問を受ける際、その日が何日であるか、以前に目覚めたことがあるかどうかは決して知ることができないとする。
- 起こされた時にされる質問とは「コインが表であった確率は幾らか？」というものである。
- どちらの場合でも、水曜日になれば眠り姫は目覚めさせられる。水曜日は質問を行わず、実験はそこで終了する。
解答
条件より、コインが表,裏となる確率は偏りの情報がないことからいずれも1/2であり、コインが表の場合に眠り姫が起こされた今日が月曜日,水曜日である確率はいずれも1/2、コインが裏の場合に眠り姫が起こされた今日が月曜日,火曜日,水曜日である確率はいずれも1/3である。起こされた際に質問されたことにより、ありえない水曜日が排除、確率が更新されて、コインが表であった確率は3/7となる。
| 事象 | 確率 |
|---|
| コインが表 | コインが表かつ起こされた今日が月曜日 | 1/2 x 1/2 = 1/4 | 3/7 | 3/7 |
| コインが表かつ起こされた今日が水曜日 | 1/2 x 1/2 = 1/4 | |
| コインが裏 | コインが裏かつ起こされた今日が月曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 2/7 | 4/7 |
| コインが裏かつ起こされた今日が火曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 2/7 |
| コインが裏かつ起こされた今日が水曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | |
補足：頻度から確率を考える
実験を複数回行った時、例として200回実験を行って100回コインが表、100回コインが裏となったならば、頻度の比により表,裏が出る確率はいずれも1/2となる（乱暴な決定）。また、100回コインが表となった時に眠り姫が起こされた日が月曜日,水曜日である回数はいずれも100回であるため、頻度の比によりコインが表である時に眠り姫が起こされた今日が月曜日,水曜日である確率はいずれも1/2となる。100回コインが裏となった時に眠り姫が起こされた日が月曜日,火曜日,水曜日である回数はいずれも100回であるため、頻度の比によりコインが裏である時に眠り姫が起こされた今日が月曜日,火曜日,水曜日である確率はいずれも1/3となる。
変形問題1
条件
問題を、コインが表の場合の月曜日とコインが裏の場合の火曜日の質問の後に眠らせず実験終了する条件に変更する。
※最初からこの条件での出題も多く見られる。
解答
条件より、コインが表,裏となる確率は偏りの情報がないことからいずれも1/2であり、コインが表の場合に眠り姫が起こされた今日が月曜日である確率は1、コインが裏の場合に眠り姫が起こされた今日が月曜日,火曜日である確率はいずれも1/2である。起こされた際に質問されたことにより排除される事象は無く、確率が更新されず、コインが表であった確率は1/2となる。
| 事象 | 確率 |
|---|
| コインが表 | コインが表かつ起こされた今日が月曜日 | 1/2 x 1 = 1/2 | 1/2 | 1/2 |
| コインが裏 | コインが裏かつ起こされた今日が月曜日 | 1/2 x 1/2 = 1/4 | 1/4 | 1/2 |
| コインが裏かつ起こされた今日が火曜日 | 1/2 x 1/2 = 1/4 | 1/4 |
変形問題2
条件
問題を、目覚めさせられる時間の直前の時間に自分で起きるもの（コインが表かつ火曜日を含み、この日は自分で薬を用いる）として、目覚めさせるということが行われた場合という条件に変更する。
解答
条件より、コインが表,裏となる確率は偏りの情報がないことからいずれも1/2であり、コインが表の場合に眠り姫が起きた今日が月曜日,火曜日,水曜日である確率はいずれも1/3、コインが裏の場合に眠り姫が起きた今日が月曜日,火曜日,水曜日である確率はいずれも1/3である。起こされるということが行われたことにより、ありえないコインが表かつ火曜日が排除。起こされた際に質問されたことにより、ありえない水曜日が排除。確率が更新されて、コインが表であった確率は1/3となる。
| 事象 | 確率 |
|---|
| コインが表 | コインが表かつ起きた今日が月曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/3 | 1/3 |
| コインが表かつ起きた今日が火曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | |
| コインが表かつ起きた今日が水曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | |
| コインが裏 | コインが裏かつ起きた今日が月曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/3 | 2/3 |
| コインが裏かつ起きた今日が火曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/3 |
| コインが裏かつ起きた今日が水曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | |
変形問題3
条件
問題を、コインが表の時には月曜日に5回起こす条件に変更する。
解答
条件より、コインが表,裏となる確率は偏りの情報がないことからいずれも1/2であり、コインが表の場合に眠り姫が起こされた今日が月曜日,水曜日である確率は5/6,1/6、コインが裏の場合に眠り姫が起こされた今日が月曜日,火曜日,水曜日である確率はいずれも1/3である。起こされた際に質問されたことにより、ありえない水曜日が排除、確率が更新されて、コインが表であった確率は5/9となる。
| 事象 | 確率 |
|---|
| コインが表 | コインが表かつ起こされた今日が月曜日 | 1/2 x5/6 = 5/12 | 5/9 | 5/9 |
| コインが表かつ起こされた今日が水曜日 | 1/2 x 1/6 = 1/12 | |
| コインが裏 | コインが裏かつ起こされた今日が月曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 2/9 | 4/9 |
| コインが裏かつ起こされた今日が火曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 2/9 |
| コインが裏かつ起こされた今日が水曜日 | 1/2 x 1/3 = 1/6 | |